\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\\\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\\\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\) 

Bạn xem lại nha, có thể đáp án A hoặc B sẽ có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\)

c) \(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{GA}\)

d) \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{GM}\ne\overrightarrow{GM}\)

MN là đường trung bình của tam giác ABC 

\(\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

Từ giả thiết:

\(\overrightarrow{KM}=-2\overrightarrow{KN}=-2\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MN}\right)\)

\(\Rightarrow3\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{NM}\Rightarrow\overrightarrow{KM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{NM}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MN}=\dfrac{2}{3}\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Do đó:

\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}\)

\(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{CM}\)

Ta có: \(\overrightarrow {NB} \) và \(\overrightarrow {NC} \) là hai vecto đối nhau (do N là trung điểm của BC)

\( \Rightarrow \overrightarrow {NC}  =  - \overrightarrow {NB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM} \)(tính chất giáo hoán)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \;|\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} |\, = \;|\overrightarrow {NM} | = NM.\)

Vì: M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên \(MN = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}.\)

Vậy \(\;|\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {NB} |\, = \frac{a}{2}.\)

Ta có:

\(\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)+\left(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}\right)=2\overrightarrow{IE}+2\overrightarrow{IF}=2\left(\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}\right)=\overrightarrow{0}\)

Do đó:

\(T=\left|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{NI}+\overrightarrow{ID}\right|\)

\(=4\left|\overrightarrow{NI}\right|=4NI\)

\(\Rightarrow T_{min}\) khi \(NI_{min}\)

\(\Rightarrow\) N là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

M, N là trung điểm AB và AC nên MN là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow MN||BC\Rightarrow\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương